7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 38)
Xem toàn bộ quiz

Chứng minh: căn bậc hai của a^2 + b^2  + căn bậc hai của c^2 + d^2  lớn hơn bằng( a + c)^2 + ( b + d)^2, a, b, c, d thuộc R

5/92

Chứng minh:\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} ,\;\forall a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}\).

0/3000 ký tự
Giải thích

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow ac + bd \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \) (1)

• Nếu ac + bd < 0: BĐT luôn đúng

• Nếu ac + bd ³ 0 thì (1) tương đương

(ac + bd)2 £ (a2 + b2)(c2 + d2)

Û (ac)2 + (bd)2 + 2abcd £ (ac)2 + (ad)2 + (bc)2 + (bd)2

Û (ad)2 + (bc)2 − 2abcd ³ 0

Û (ad − bc)2 ³ 0 (luôn đúng).

Vậy bài toán được chứng minh.