Chứng minh bất đẳng thức (x^2 − x + 1)/( x^2 + x + 1) ≥ 1/3 .

Ta có \(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \ge \frac{1}{3}\)

\(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{1}{3} \ge 0\)

\(\frac{{3{x^2} - 3x + 3 - {x^2} - x - 1}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0\)

\(\frac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0\)

\(\frac{{2{{(x - 1)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \ge 0.\)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (dấu "=" khi và chỉ khi \(x = 1\) ).