Chứng minh bằng quy nạp: 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 (1).

Với n = 1. Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1) = 2

Suy ra (1) đúng với n = 1

Giải sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có:

1.2+2.3+3.4+...+kk+1=kk+1k+23 (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng mình:

1.2+2.3+3.4+...+kk+1+k+1k+2=k+1k+2k+33

Thật vậy:

1.2+2.3+3.4+...+kk+1+k+1k+2=kk+1k+23+k+1k+2=k+1k+2k+33

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.