Chứng minh ba điểm C , P , E là ba điểm thẳng hàng.

⦁ Tam giác \[MHC\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[M,{\rm{ }}H,{\rm{ }}C\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MC.\]

Mà \[P\] thuộc đường tròn đó nên \(\widehat {MPC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mặt khác, \[P\] thuộc đường tròn tâm \[O,\] đường kính \[MN\] nên \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vậy \(\widehat {MPN} + \widehat {MPC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \[C,{\rm{ }}P,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (3)

⦁ Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BMC\) có:

\(\widehat {MHC} = \widehat {BMC} = 90^\circ \) và \(\widehat {MCB}\) là góc chung

Do đó (g.g), suy ra \(\frac{{MH}}{{BM}} = \frac{{HC}}{{MC}}\) hay \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\).

Tam giác \[BMN\]có \[BO\] là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \[\Delta BMN\] cân tại \[B\], suy ra \(BM = BN.\)

Do đó từ \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\) ta có \(\frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BN}}\)

Theo câu b ta có: \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\) nên \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(MN\) có \(B \in \left( O \right)\) nên \(\widehat {NBM} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {NBE} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta MCE\) và \(\Delta BNE\) có: \(\widehat {CME} = \widehat {NBE} = 90^\circ \) và \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MC}}{{BN}}\)

Do đó  (g.g), suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {BEN}\) (hai góc tương ứng).

Ta có: \(\widehat {BEN} + \widehat {CEB} = \widehat {MEC} + \widehat {CEB} = \widehat {MEB} = 180^\circ \) nên ba điểm \[C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}N\] thẳng hàng. (4)

Từ (3) và (4) ta có bốn điểm \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E;{\rm{ }}N\] thẳng hàng hay \[C;{\rm{ }}P;{\rm{ }}E\] thẳng hàng.