Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB lấy E, trên tia đối của CA lấy F sao cho BE = CF. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc AB cắt BI tại K. Chứng minh tam giác BEK là tam giác vuông cân. (ảnh 1)

Ta có:

EB // FD

⇒AE // FD (1)

Từ tia đối của tia EK vẽ KD // AE

Lại có: EK và KD cùng song song với FA

⇒ ED song song với FA (2)

Từ (1) và (2) suy ra AFDE là hình bình hành.

⇒ AD giao EF tại trung điểm mỗi đường

⇒ I là trung điểm của EF

⇒ IE = IF (*)

EK ⊥ AB

FA ⊥AB

⇒ FA // EK

⇒KEI^=CFI^

Xét tam giác EKI và tam giác FCI có :

KEI^=CFI^ (chứng minh trên)

IE = IF ( chứng minh * )

KIE^=CIF^ ( hai góc đối đỉnh bằng nhau )

⇒ ∆EKI = ∆FCI ( g.c.g )

⇒ EK = CF

Mà BE = CF

⇒ BE = EK

Mà lại có: vuông

⇒ Tam giác BEK là tam giác vuông cân tại E.

Chứng minh: b) góc ADM = góc NCA và IM // CN.