Chứng minh a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Lời giải

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:

0 < a < b + c Þ a² < a(b + c) = ab + ca;

0 < b < c + a Þ b² < b(c + a) = bc + ab;

0 < c < a + b Þ c² < c(a + cb) = ca + bc

Do đó suy ra a² + b² +c² < (ab + ca) + (bc + ab) + (ca + bc)

Þa² + b² +c² < 2(ab + bc + ca).