Chứng minh Δ A D K = Δ C B E .

11/35

Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy điểm $K$ và $E$ trên đường chéo $BD$ sao cho $DK = BE$.

a) Chứng minh $\Delta ADK = \Delta CBE$.

b) Chứng minh rằng tứ giác $AKCE$ là hình bình hành.

c) Đường thẳng $AK$ cắt cạnh $CD$ tại $M,$ đường thẳng $CE$ cắt cạnh $AB$ tại $N,$$AC$ cắt $BD$ tại $O.$ Chứng minh ba điểm $M,O,N$ thẳng hàng.

d) Hình bình hành $ABCD$ cần thêm điều kiện gì để hình bình hành $AKCE$ là hình thoi?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Chứng minh $\Delta ADK = \Delta CBE$. (ảnh 1)$

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD = BC$ và $AD\,{\rm{//}}\,BC$.

Xét $\Delta ADK$ và $\Delta CBE$ có:

$AD = BC$; $DK = BE$; $\widehat {ADK} = \widehat {CBE}$ (so le trong của $AD\,{\rm{//}}\,BC$)

Do đó $\Delta ADK = \Delta CBE$ (c.g.c)

b) Ta có: $\widehat {DKA} + \widehat {AKB} = 180^\circ $ (kề bù); $\widehat {BEC} + \widehat {DEC} = 180^\circ $ (kề bù)

Mà $\widehat {DKA} = \widehat {BEC}$ (do $\Delta ADK = \Delta CBE$) nên $\widehat {AKB} = \widehat {CED}$

Lại có $\widehat {AKB},\,\,\widehat {CED}$ là hai góc nằm ở vị trí so le trong, nên $AK\,{\rm{//}}\,CE$

Mặt khác: $AK = CE$ (do $\Delta ADK = \Delta CBE$)

Suy ra tứ giác$AKCE$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Xét tứ giác$AMCN$ có: \[AN\,{\rm{//}}\,MC\] (do $ABCD$ là hình bình hành) và $AM{\rm{/}}\,{\rm{//}}\,CN$ (do $AK\,{\rm{//}}\,CE)$ nên tứ giác$AMCN$ là hình bình hành.

Khi đó, hai đường chéo $MN,AC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $AC$ nên $O$ cũng là trung điểm của $MN$ hay ba điểm $M,O,N$ thẳng hàng.

d) Hình bình hành $AKCE$ là hình thoi khi và chỉ khi $AC \bot KE$ hay $AC \bot BD$, tức là lúc này hình bình hành $ABCD$ là hình thoi.

Vậy để hình bình hành $AKCE$ là hình thoi thì hình bình hành $ABCD$ là hình thoi.