Chứng minh A C ⋅ B D = R^ 2 .

⦁ Vì \(CM\) và \(CA\) lần lượt là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) và \(A\) nên \(CA = CM\) và \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) nên \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}.\)

Tương tự \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\) và \(DM = DB.\)

Suy ra \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

 \( = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {BOM}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta OCM\) và \(\Delta DOM\) có: \(\widehat {OMC} = \widehat {DMO} = 90^\circ \) và \(\widehat {OCM} = \widehat {DOM}\) (cùng phụ với \(\widehat {COM}).\)

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{OM}}{{DM}} = \frac{{CM}}{{OM}}\) nên \(O{M^2} = CM \cdot DM.\)

Do đó \(AC \cdot DB = CM \cdot DM = O{M^2} = {R^2}.\)