Chú kiến bị lạc tổ, chú đang loay hoay để tìm tổ. Chú đi theo suy đoán và đặt hệ trục tọa độ Oxy thì đường đi của chú có
21/22
Chú kiến bị lạc tổ, chú đang loay hoay để tìm tổ. Chú đi theo suy đoán và đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\) thì đường đi của chú có quỹ đạo là một phần đường cong đồ thị hàm số có công thức \(y = f\left( x \right) = a{\left( {x - b} \right)^2}\)(Với \(a,b\)là các số thực dương). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tính chất.
Với số thực \(k\)gọi hàm số \[g\left( k \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {k;k + 2} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {k;k + 2} \right]} f\left( x \right)\]. Hàm số \(g\left( k \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 3 \right) = a\\g\left( 2 \right) + g\left( 6 \right) = 32\end{array} \right.\). Biết tổ của chú nằm ngay tại gốc tọa độ \(O\). Thời điểm 9h sáng chú đang ở vị trí \(A\)(hình vẽ).
Khoảng cách giữa chú kiến và tổ của mình là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Ta có.
\[\begin{array}{l}g\left( 3 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {{\left( {x - b} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {{\left( {x - b} \right)}^2}} \right] = a\\ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1\end{array}\]
+) Nếu \[b \le 3\] thì
\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {5 - b} \right)^2} - {\left( {3 - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow - 4b + 16 = 1 \Leftrightarrow b = \frac{{15}}{4}\] (loại)
+) Nếu \[b \ge 5\] thì
\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {3 - b} \right)^2} - {\left( {5 - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 4b - 16 = 1 \Leftrightarrow b = \frac{{17}}{4}\] (loại)
+) Nếu \[3 < b < 5\]thì
\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} {\left( {x - b} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow Max\left\{ {{{\left( {3 - b} \right)}^2};{{\left( {5 - b} \right)}^2}} \right\} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {3 - b} \right)^2} = 1\\{\left( {5 - b} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2(l)\\b = 4(tm)\\b = 6(l)\end{array} \right.\]
Vậy \[b = 4\].
Lại có.
\[g\left( 2 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right] = a{\left( {2 - 4} \right)^2} = 4a\]
\[g\left( 6 \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {6;8} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {6;8} \right]} f\left( x \right) = a\left[ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {6;8} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2} - \mathop {\min }\limits_{\left[ {6;8} \right]} {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right] = a\left[ {{{\left( {8 - 4} \right)}^2} - {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} \right] = 12a\]
\[g\left( 2 \right) + g\left( 6 \right) = 32 \Leftrightarrow 4a + 12a = 32 \Leftrightarrow a = 2\]
Do đó \[f\left( x \right) = 2{\left( {x - 4} \right)^2}\] suy ra \[A\left( {7;18} \right)\]. Vậy khoảng cách giữa chú kiến và tổ của mình là.
\[OA = \sqrt {{7^2} + {{18}^2}} \approx 19,3\]