Chọn ngẫu nhiên 5 số phân biệt từ tập hợp X = {2;4;6;8;10;12;13;14;16;18;20} để xếp vào 5 ô A, B, C, D, O
22/22
Chọn ngẫu nhiên 5 số phân biệt từ tập hợp \(X = \left\{ {2;4;6;8;10;12;13;14;16;18;20} \right\}\) để xếp vào 5 ô \(A,B,C,D,O\) như hình vẽ (mỗi ô xếp một số). Gọi \(Y\) là biên cố “ Số 13 ở ô \(O\) và tổng các số ở ô \(A,O,C\) bằng tổng các số xếp ở ô \(B,O,D\)”. Biết xác suất của biến cố \(Y\) là \(P\left( Y \right) = \frac{a}{b}\)( với \(a,b \in \mathbb{N}\); \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Khi đó giá trị \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Đáp án: \(698\)
Không gian mẫu:” Chọn 5 số từ 11 số và xếp vào 5 vị trí “: \(n(\Omega ) = A_{11}^5 = 55440\)
Chọn chữ số 13 xếp vào ô O có: 1 cách.
Vì \(A + C = B + D = S\).
· \(S = 10 \Rightarrow \) {2,8}, {4,6} \( \Rightarrow \) có 1 cách.
· \(S = 12 \Rightarrow \) {2,8}, {4,6} \( \Rightarrow \) có 1 cách.
· \(S = 14 \Rightarrow \){2,12} và {4,10}, {2,12} và {6,8}, {4,10} và {6,8} \( \Rightarrow \) có 3 cách
· \(S = 16 \Rightarrow \) {2,14} và {6,10}, {2,14} và {4,12}, {4,12} và {6,10} \( \Rightarrow \) có 3 cách.
· \(S = 18 \Rightarrow \) {2,16}, {4,14}, {6,12}, {8,10} \( \Rightarrow \)Chọn 2 trong 4 cặp có \( \Rightarrow C_4^2 = 6\) cách.
· \(S = 20 \Rightarrow \) {2,18}, {4,16}, {6,14}, {8,12} \( \Rightarrow \)Chọn 2 trong 4 cặp \( \Rightarrow 6\) cách.
· \(S = 22 \Rightarrow \){2,20}, {4,18}, {6,16}, {8,14}, {10,12} \( \Rightarrow \)Chọn 2 trong 5 cặp \( \Rightarrow C_5^2 = 10\) cách
· \(S = 24 \Rightarrow \) {4,20}, {6,18}, {8,16}, {10,14}\( \Rightarrow \)Chọn 2 trong 4 cặp \( \Rightarrow 6\) cách.
· \(S = 26 \Rightarrow \) {6,20}, {8,18}, {10,16}, {12,14} \( \Rightarrow \)Chọn 2 trong 4 cặp \( \Rightarrow 6\) cách
· \(S = 28 \Rightarrow \)Tổng 28: {8,20}, {10,18}, {12,16} \( \Rightarrow \)Chọn 2 trong 3 cặp \( \Rightarrow 3\) cách.
· \(S = 30 \Rightarrow \)Tổng 30: {10,20}, {12,18}, {14,16} \( \Rightarrow \)3 cách.
· \(S = 32 \Rightarrow \)ng 32: {12,20}, {14,18}\( \Rightarrow \)(1 cách.
· \(S = 34 \Rightarrow \) {14,20}, {16,18} \( \Rightarrow \)1 cách.
Tổng số cách chọn \(1 + 1 + 3 + 3 + 6 + 6 + 10 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 + 1 = 50\) cách.
Chọn 1 cặp xếp vào ô A-C, cặp còn lại cho ô B-D: 2 cách.
Hoán vị 2 số trong cặp A, C: 2 cách.
Hoán vị 2 số trong cặp B, D: 2 cách.
\( \Rightarrow \) Mỗi bộ có \(2 \times 2 \times 2 = 8\) cách.
Số phần tử thuận lợi: \(n(Y) = 50 \times 8 = 400\).
Xác suất của biến cố \(Y\):\(P(Y) = \frac{{n(Y)}}{{n(\Omega )}} = \frac{5}{{693}} \Rightarrow a + b = 698\).