Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức: .

Ta có: xy + yz + xz = 0

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được:

1x+1y+1z=0

Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x³ + y³ + z³ = 3xyz (*)

Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y)

Do đó, x³ + y³ + z³ = x³ + y³ - (x + y)³ = -3x²y - 3xy² = -3xy(x + y) = 3xyz

Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh

Áp dụng nhận xét trên, ta có:

Nếu 1x+1y+1z=0 thì 1x3+1y3+1z3=3.1x.1y.1z=3xyz

Do đó M = yzx2+xzy2+xyz2=xyzx3+xyzy3+xyzz3=xyz1x3+1y3+1z3

=xyz.3xyz=3 (x, y, z ≠ 0)

Vậy M=yzx2+xzy2+xyz2=3.