Cho X^3 là một nguyên hàm của hàm số e^-2x f(x) trên R. Họ tất cả các nguyên hàm của

26/150

Cho \({x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số \({e^{ - 2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}.\) Họ tất cả các nguyên hàm của \({e^{ - 2x}}f'\left( x \right)\) là

\( - {x^3} + 3{x^2} + C.\)

\(2{x^3} + 3{x^2} + C.\)

\( - 2{x^3} + 3{x^2} + C.\)

\({x^3} + 3{x^2} + C.\)

Giải thích

Ta có \({\left( {{x^3}} \right)^\prime } = {e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right) \Leftrightarrow 3{x^2} = {e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)\) và \(\int {{e^{ - 2x}}} \cdot f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^3} + C.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {e^{ - 2x}}}\\{\;{\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = - 2{e^{ - 2x}}\;{\rm{d}}x}\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(\int {{e^{ - 2x}}} \cdot f'\left( x \right){\rm{d}}x = {e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right) + \int 2 {e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right){\rm{d}}x\)\( = 3{x^2} + 2{x^3} + C.\) Chọn B.