Cho x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx. Chứng minh x = y = z.

x² + y² + z² = xy + yz + zx

⇔ 2x² + 2y² + 2z² = 2xy + 2yz + 2zx

⇔ (x² – 2xy + y²) + (y² – 2yz + z²) + (z² – 2xz + x²) = 0

⇔ (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0 (*)

Vì (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0 với mọi x, y, z nên để (*) xảy ra thì (x – y)² = (y – z)² = (z – x)² = 0

Tức là: x=yy=zz=x⇔x=y=z.