Cho x,y,z>0  và xy+yz+xz=3xyz.  Tính giá trị nhỏ nhất của:

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho xyz.

- Đặt a=1x,b=1y,c=1z đưa về tìm GTNN theo a,b,c.

- Sử dụng bất đẳng thức a2+b2≥2ab.

Cách giải:

Ta có: xy+yz+zx=3xyz

Chia cả hai vế cho xyz≠0 ta được:1x+1y+1z=3.

Đặt a=1x,b=1y,c=1za,b,c>0 thì a+b+c=3.

Khi đó x2zz2+x2=1a21c.1c2+1a2=c3a2+c2=c3+ca2−ca2c2+a2=c−ca2c2+a2

y2xx2+y2=1b21a1a2+1b2=a3a2+b2=a3+ab2−ab2a2+b2=a−ab2a2+b2z2yy2+z2=1c21b1b2+1c2=b3b2+c2=b3+bc2−bc2b2+c2=b−bc2b2+c2⇒A=c−ca2c2+a2+a−ab2a2+b2+b−bc2b2+c2=a+b+c−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2=3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2

Mà c2+a2≥2ca⇒ca2c2+a2≤ca22ca=a2

Tương tự ab2a2+b2≤b2 và bc2b2+c2≤c2

⇒ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≤a2+b2+c2=32⇒3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≥3−32=32.

Vậy A≥32 nên minA=32.

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.