Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

Vì x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1

Nên 0 ≤ x, y, z ≤ 1

Suy ra: x2≤xy2≤yz2≤z⇔2x2+x+1≤x2+2x+12y2+y+1≤y2+2y+12z2+z+1≤z2+2z+1⇔2x2+x+1≤x+122y2+y+1≤y+122z2+z+1≤z+12

Suy ra P≤x+12+y+12+z+12=x+y+z+3=1+3=4

Dấu “ = ” xảy ra khi x=0,y=0,z=1x=0,y=1,z=0x=1,y=0,z=0

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi (x; y; z) = (0; 0; 1) và các hoán vị.