Cho x; y; z > 1 thỏa mãn x= 2y=3z và xy+yz+zx=12^2 . Tính x + y – z.

Ta có: 5x² + 16y² + 27z² − 12xy − 12xz − 12yz

= 3(x − 2y)² + (2y − 3z)² + 2(x − 3z)² ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2y = 3z  (1)

Suy ra 5x² + 16y² + 27z² ≥ 12(xy + yz + xz)

 ⇒log(xy+yz+xz)(5x2+16y2+27z2)≥log(xy+yz+xz)12(xy+yz+xz)=log(xy+yz+xz)12+1

(có xy + yz + xz ≥ 1 nên hàm số  f(t)=logxy+yz+xzt đồng biến)

Biểu thức đã cho:

 log(xy+yz+xz)(5x2+16y2+27z2)+log144xy+yz+xz≥log(xy+yz+xz)12+1+14log12(xy+yz+xz)

 log(xy+yz+xz)(5x2+16y2+27z2)+log144xy+yz+xz≥2log(xy+yz+xz)12.14log12(xy+yz+xz)+1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  log(xy+yz+xz)l2=14log12(xy+yz+xz)

⇔ xy + yz + xz = 12² (2)

Từ (1), (2) suy ra đẳng thức đã cho xảy ra khi  x=2y=3zxy+yz+xz=122⇔x=12y=6z=4

Suy ra x + y – z = 14

Vậy x + y – z = 14.