Cho (x; y) thỏa mãn 3x + y = 2m; x + y = 4. Tìm m để biểu thức A = xy + y - 1 đạt giá trị lớn nhất. (Kết quả để dưới dạng số thập phân).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,5

Vì \(\frac{3}{1} \ne \frac{1}{1}\) nên hệ phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của m.

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho hai vế của phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta được 2x = 2m + 2 nên x = m + 1.

Thay x = m + 1 vào phương trình thứ hai trong hệ đã cho ta có: m + 1 + y = 4, suy ra y = 3 – m.

Thay x = m + 1 và y = 3 – m vào A ta có:

A = (m + 1)(3 – m) + 3 – m – 1

= –m² + m + 5

\( = - \left( {{{\rm{m}}^2} - 2 \cdot {\rm{m}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{21}}{4}\)

\( = - {\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{21}}{4}\)

Vì \( - {\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi m nên \({\left( {{\rm{m}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{21}}{4} \le \frac{{21}}{4}\) với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi \({\rm{m}} - \frac{1}{2} = 0\) nên \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\) thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.