Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x>y và xy=1. Chứng minh rằng (x^2+y^2)^2/(x^2+y^2)>=8

Vì \[x > y\] nên \[x - y > 0,\] suy ra \[\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} \ge 8 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} \ge 2\sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt 2 \left( {x - y} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2 - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 y - 2xy \ge 0\]

(vì\[xy = 1\] nên \[2 = 2xy\])

\[{\left( {x - y - \sqrt 2 } \right)^2} \ge 0\], điều này luôn luôn đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh.