Cho x; y là hai số thực thỏa mãn x.y + căn((1+x^2).(1+y^2)) = 1. Chứng minh rằng x.căn(1+y^2)+ y.căn(1+x^2)=0
Giải thích
Ta có: \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = 1 - xy\)
\( \Rightarrow \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right) = {\left( {1 - xy} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} = 1 - 2xy + {x^2}{y^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = - x\)
\( \Rightarrow x\sqrt {1 + {y^2}} + y\sqrt {1 + {x^2}} = x\sqrt {1 + {x^2}} - x\sqrt {1 + {x^2}} = 0\)
Nhận xét: Bài toán hay ở chỗ khai thác triệt để giả thiết, vì giả thiết là manh mối quyết định bài toán, khi tìm được \(x = - y\) thì việc chứng minh trở nên rất đơn giản.