Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1. Chứng minh rằng 4/ (x+y)^2+x^2+y^2>=3 . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Gọi A = 4(x+y)2+x2+y2

=4(x+y)2+(x+y)2−2xy

=4(x+y)2+(x+y)24+34(x2+y2)+34 . 2xy−2

=4(x+y)2+(x+y)24+34(x2+y2)+32−2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

A≥24(x+y)2(x+y)24+34.2x2y2+32−2

⇔A≥2+32+32−2=3 (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1.

Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.