Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + y2.

Ta có: x + y = 1 Þ y = 1 – x

Þ x² + y² = x² + (1 – x)² = x² + 1 – 2x + x² = 2x² – 2x + 1

               =2x2−x+14+12=2x−122+12 

Với x ≥ 0 ta có x−122≥0 nên 2x−122+12≥12

Do đó x2+y2≥12

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x−122=0⇔x−12=0⇔x=12

Với x=12⇒y=1−12=12.

Vậy giá trị nhỏ nhất của x² + y² là 12 khi x=y=12.