Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≥ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x^2 + y^2 + 28/x + 1/y .

Điều kiện: \(x,y > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \({x^2};4\), ta được: \({x^2} + 4 \ge 2\sqrt {{x^2}.4} = 2x.2 = 4x\).

Suy ra \({x^2} \ge 4x - 4\).

Do đó \(2{x^2} \ge 8x - 8\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \({y^2};1\), ta được: \({y^2} + 1 \ge 2\sqrt {{y^2}.1} = 2y\).

Suy ra \({y^2} \ge 2y - 1\) (2)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: \(2{x^2} + {y^2} \ge 8x - 8 + 2y - 1\).

Suy ra \(2{x^2} + {y^2} \ge 8x + 2y - 9\).

Khi đó \(2{x^2} + {y^2} + \frac{{28}}{x} + \frac{1}{y} \ge 8x + 2y - 9 + \frac{{28}}{x} + \frac{1}{y}\).

Vì vậy \(A \ge 8x + 2y + \frac{{28}}{x} + \frac{1}{y} - 9\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \(7x;\frac{{28}}{x}\), ta được:

\[7x + \frac{{28}}{x} \ge 2\sqrt {7x.\frac{{28}}{x}} = 2\sqrt {196} = 28\] (3)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \(y;\frac{1}{y}\), ta được:

\[y + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{1}{y}} = 2\sqrt 1 = 2\] (4)

Theo đề, ta có: \[x + y \ge 3\] (5)

Lấy (3) + (4) + (5) vế theo vế, ta được: \[8x + 2y + \frac{{28}}{x} + \frac{1}{y} \ge 28 + 2 + 3 = 33\].

Suy ra \[8x + 2y + \frac{{28}}{x} + \frac{1}{y} - 9 \ge 33 - 9 = 24\].

Do đó \(A \ge 8x + 2y + \frac{{28}}{x} + \frac{1}{y} - 9 \ge 24\).

Vì vậy \(A \ge 24\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 4 = {2^2} = {\left( { - 2} \right)^2}\) và \({y^2} = 1 = {1^2} = {\left( { - 1} \right)^2}\).

Suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\) và \(y = 1\) hoặc \(y = - 1\).

So với điều kiện \(x,y > 0\), ta nhận \(x = 2\) và \(y = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng \(24\) khi và chỉ khi \(x = 2\) và \(y = 1\).