Cho \(x + y = 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^3} + {y^3} + xy\). (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Lời giải

Đáp án: \(0,5\)

Ta có: \(A = {x^3} + {y^3} + xy = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + xy = {x^2} - xy + {y^2} + xy = {x^2} + {y^2}\) (do \(x + y = 1\)).

Vì \(x + y = 1\) nên \(y = 1 - x\), thay vào \(A\) ta được:

\(A = {x^2} + {\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2} + {x^2} - 2x + 1 = 2\left( {{x^2} - x} \right) + 1 = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}\) hay \(A \ge 0,5.\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(A = 0,5\) khi \(x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}.\)