Cho x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện 4 x^2 + y^2 − 8 x − 2 y + 1 = 0 . Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?
Đáp án
Phát biểu | Đúng | Sai |
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 3x + 2y + 1\) là 1 . | X | |
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(B = \frac{{x - 2y + 1}}{{x + y + 1}}\) là 4 . | X |
Giải thích
Dễ thấy rằng điều kiện đã cho tương đương với \({(x - 1)^2} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{{2^2}}} = 1\).
Từ đó ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + {\rm{cos}}t}\\{y = 1 + 2{\rm{sin}}t}\end{array},t \in \left[ {0;2\pi } \right]} \right.\). Khi đó ta được \(A = 3{\rm{cos}}t + 4{\rm{sin}}t + 6\).
Vậy \({\rm{min}}\,\,A = 6 - \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 1,\,\,{\rm{max}}\,\,A = 6 + \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 11\).
Ta cũng có \(B = \frac{{{\rm{cos}}t - 4{\rm{sin}}t}}{{{\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3}}\). Dễ thấy \({\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3 > 0\) với mọi \(t\) nên \(B\) xác định với mọi \(t\).
Bây giờ gọi \(M\) là tập các giá trị của \(B\), thì \(m \in M\) khi và chỉ khi phương trình \(\frac{{{\rm{cos}}t - 4{\rm{sin}}t}}{{{\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3}} = m\) có nghiệm.
\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( {m - 1} \right){\rm{cos}}t + 2\left( {m + 2} \right){\rm{sin}}t + 3m = 0\) có nghiệm.
\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + 4{(m + 2)^2} \ge 9{m^2} \Leftrightarrow \frac{{7 - 3\sqrt {13} }}{4} \le m \le \frac{{7 + 3\sqrt {13} }}{4}\).
Do đó \(M = \left[ {\frac{{7 - 3\sqrt {13} }}{4};\frac{{7 + 3\sqrt {13} }}{4}} \right]\).
Vậy \({\rm{min}}\,\,B = \frac{{7 - 3\sqrt {13} }}{4},{\rm{max}}\,\,B = \frac{{7 + 3\sqrt {13} }}{4}\).