Cho X là tập hợp tất cả các số phức z có phần thực và phần ảo không vượt quá 4

Đặt \(z = x + yi\quad (x,y \in \mathbb{R})\)

Theo bài ra, ta có \(x \le 4,\,\,y \le 4\) và \(x + y \ge 6.\)

Vẽ các đường thẳng \(x = 4,\,\,y = 4\) và \(x + y = 6\) trên hệ toạ độ \[Oxy.\]

Vẽ các miền phẳng thoả mãn \(x \le 4,\,\,y \le 4\) và \(x + y - 6 \ge 0.\)

Dễ thấy, phần giao nhau của 3 miền trên là tam giác xanh đậm.

Với toạ độ các đỉnh là \(A\left( {4\,;\,\,4} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\,2} \right)\) và \(C\left( {2\,;\,\,4} \right).\)

Ta có \(\left| z \right| = OM\) với \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\).

Khi đó, điểm \(M\) nằm trong tam giác \[ABC\].

Gọi \(H\left( {3\,;\,\,3} \right)\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow O,\,\,A,\,\,H\) thẳng hàng

Suy ra \({\left| z \right|_{\max }} = O{M_{\max }} = OA = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 .\)

Và \({\left| z \right|_{\min }} = O{M_{\min }} = OH = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 .\)

Vậy \(M \cdot m = 4\sqrt 2  \cdot 3\sqrt 2  = 24.\)

Đáp án: 24.