Cho u n = 1 + a + a 2 + ⋯ + a n 1 + b + b 2 + ⋯ + b n với a , b là các số thực thoả mãn | a | < 1 , | b | < 1 . Tính lim n → + ∞ u n .

Ta có \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + \cdots + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + \cdots + {b^n}}} = \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}} \cdot \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}\).