Cho tứ giác lồi ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AD và BC . Tính v

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CJ} }\\{\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BJ} }\end{array} \Rightarrow 2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB} } \right.\).

Suy ra: \(\overrightarrow {HK}  \cdot 2\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {HK} (\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {HK}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {HK}  \cdot \overrightarrow {DB} \)

\( = (\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DK} )\overrightarrow {AC}  + (\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CK} )\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DB} ) = \overrightarrow {AC}  \cdot \vec 0 = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {HK}  \cdot \overrightarrow {IJ}  = 0\)