Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn

a) Tam giác OAB có IM // OA nên áp dụng định lí Thales, ta được: \(\frac{{IM}}{{OA}} = \frac{{IB}}{{OB}}\)   (1)

Tam giác DPI có OA // IP nên áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{OA}}{{IP}} = \frac{{OD}}{{ID}}\)    (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\frac{{IM}}{{OA}}.\frac{{OA}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{OB}}.\frac{{OD}}{{ID}}\).

\( \Leftrightarrow \frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Tam giác OBC có IN // OC nên áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{IN}}{{OC}} = \frac{{IB}}{{OB}}\)   (3)

Tam giác DQI có OC // IQ nên áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{OC}}{{IQ}} = \frac{{OD}}{{ID}}\)   (4)

Từ (3), (4), suy ra \(\frac{{IN}}{{OC}}.\frac{{OC}}{{IQ}} = \frac{{IB}}{{OB}}.\frac{{OD}}{{ID}}\).

\( \Leftrightarrow \frac{{IN}}{{IQ}} = \frac{{IB}}{{ID}}.\frac{{OD}}{{OB}} = \frac{{IM}}{{IP}}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.