Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có tam giác ABD là tam giác nhọn và đường chéo AC đi qua tâm O của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm BD, H là trực tâm của tam giác ABD

4/5

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] có tam giác \(ABD\) là tam giác nhọn và đường chéo \(AC\) đi qua tâm O của đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[I\] là trung điểm \(BD\), \[H\] là trực tâm của tam giác \(ABD,\) \[E\] là giao điểm khác \(A\) của \(AI\) với \[\left( O \right)\] và \[K\] là hình chiếu vuông góc của \[H\] lên \(AI.\)

a) Chứng minh \(CEHK\) là hình bình hành và \(I{B^2} = I{D^2} = IA \cdot IK\).

b) Lấy điểm \[F\] trên cung nhỏ . của đường tròn \[\left( O \right)\] sao cho \(\widehat {BAF} = \widehat {DAI}\). Chứng minh các điểm \[K\] và \[F\] đối xứng nhau qua đường thẳng \[BD.\]

c) Chứng minh các đường phân giác trong các góc \(\widehat {BAD}\) và \(\widehat {BKD}\) cắt nhau trên \[BD.\]

d) Trên đường thẳng qua \[H\] và song song \[AC\] lấy điểm \[T\] sao cho \(TH = TK\). Chứng minh các điểm \[O,\,\,K,\,\,F,\,\,T\] cùng thuộc một đường tròn.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có tam giác ABD là tam giác nhọn và đường chéo AC đi qua tâm O của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm BD, H là trực tâm của tam giác ABD (ảnh 1)

a) Ta có \[BHDC\] là hình bình hành nên I là trung điểm HC.

Suy ra \(\Delta IKH = \Delta IEC\,\,{\rm{(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\) nên \(CE = HK\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó \(CEHK\) là hình bình hành.

Ta có \(IB \cdot IC = IA \cdot IE\).

Mà \(IB = IC\); \(IK = IE\) nên \(I{B^2} = IA \cdot IK\).

b) Từ giả thiết, suy ra \(EF\,{\rm{//}}\,BD\) nên \(OI \bot EF\), do đó \(IF = IE = IK\).

Suy ra \(\Delta KFE\) vuông tại \[F\] nên \[BD\] là trung trực \[KF\].

c) Từ \(I{B^2} = IA.IK\) suy ra suy ra \(\frac{{KB}}{{AB}} = \frac{{IB}}{{IA}}\).

Tương tự \(I{D^2} = IA.IK\) suy ra suy ra \(\frac{{KD}}{{AD}} = \frac{{ID}}{{IA}}\).

Do đó \(\frac{{KB}}{{AB}} = \frac{{KD}}{{AD}}\).

Gọi \[J\] là chân đường phân giác trong \[AJ\] của tam giác \[ABC.\]

Ta có \(\frac{{JB}}{{JD}} = \frac{{AB}}{{AD}}\) suy ra \(\frac{{KB}}{{KD}} = \frac{{JB}}{{JD}}\).

Suy ra \[KJ\] là phân giác \(\widehat {BKD}\) (đpcm).

d) Gọi \[L\] là giao điểm của \[AH\] và \[\left( O \right)\].

Suy ra \[L\] đối xứng với \[H\] qua \[BD\].

Mà \[K\] và \[F\] cũng đối xứng qua \[BD\] nên \[\left( {BHKD} \right)\] và \[\left( O \right)\] đối xứng qua \[BD\].

Gọi \[T'\] là tâm của đường tròn \[\left( {BHKD} \right)\] suy ra \[O\] và \[T'\] đối xứng qua \[BD\].

Mà \(OI \bot BD\) nên \[I\] là trung điểm \[OT'.\]

Do đó \[OHT'C\,\] là hình bình hành, suy ra \[HT'{\rm{ // }}OC.\]

Mà \(T'H = T'K\) nên \[T'\] thuộc trung trực \[HK\] suy ra \(T \equiv T'\).

Do tính đối xứng qua \[BD\] nên \[OKFT\] là hình thang cân nên cũng là tứ giác nội tiếp.