Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:

AN2=AB2+AD22−BD24

⇒ AB² + AD² = 2AN² + BD22(1)

Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:

CN2=CD2+CB22−BD24

⇒ CB² + CD² = 2CN² + BD22 (2)

Cộng (1) với (2) ta được: AB² + AD² + CB² + CD² = 2AN² + 2CN² + BD² (3)

Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:

MN2=CN2+AN22−AC24

⇒ AN² + CN² = 2MN² + AC22 (4)

Thay (4) vào (3) ta được:

AB² + AD² + CB² + CD² = 2.(2MN² + AC22) + BD² = 4MN² + AC² + BD²

Vậy B² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².