Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

9/15

OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+DA

OA + OB + OC + OD > AB + BC + CD + DA

OA + OB + OC + OD < 12AB + BC + CD + DA

OA−OB+OC−OD>AB+BC+CD+DA

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Xét tam giác ABC:

AB+BC>AC (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự, lần lượt các tam giác BCD, CDA, DAB ta có:

BC+CD>BD

CD+DA>CA

DA+AB>DB

Cộng vế với vế ta được các bất đẳng thức trên ta được:

AB+BC+CD+CD+DA+DA+AB>AC+BD+CA+DB

⇔2AB+BC+CD+DA>2AC+BD

⇔AB+BC+CD+DA>AC+BD

Mà: AC+BD=OA+OC+OB+OD (hệ thức cộng đoạn thẳng)

⇔OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+DA

Vậy ta có: OA+OB+OC+OD<AB+BC+CD+DA