Cho tứ giác ABCD có P là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích tại sao AB // CD và AD // BC trong mỗi trường hợp sau:

• Hình 7a):

Xét DABC và DCDA có:

AB = CD; BC = DA; AC là cạnh chung

Do đó DABC = DCDA (c.c.c)

Suy ra BAC^=DCA^ và BCA^=DAC^ (các cặp góc tương ứng).

Vì BAC^=DCA^ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vì BCA^=DAC^ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

• Hình 7b):

Ta có BAC^=DCA^ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Xét DABC và DCDA có:

AC là cạnh chung; BAC^=DCA^; AB = CD

Do đó DABC = DCDA (c.g.c)

Suy ra BCA^=DAC^ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

• Hình 7c):

Ta có: BCA^=DAC^ và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xét DABC và DCDA có:

AC là cạnh chung; BCA^=DAC^; BC = AD

Do đó DABC = DCDA (c.g.c)

Suy ra BAC^=DCA^ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

• Hình 7d):

Xét tứ giác ABCD ta có A^+B^+C^+D^=360° (định lí tổng các góc của một tứ giác)

Mà A^=C^,B^=D^ nên ta có A^+B^+A^+B^=360°

Suy ra A^+B^=360°2=180° và A^+D^=180°

Do đó AD // BC và AB // CD.

• Hình 7e):

Xét DPAB và DPCD có:

PA = PC; APB^=CPD^ (đối đỉnh); PB = PD

Do đó DPAB = DPCD (c.g.c)

Suy ra BAP^=DCP^ (hai góc tương ứng)

Hay BAC^=DCA^, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Tương tự ta cũng chứng minh được DPAD = DPCB (c.g.c)

Suy ra DAP^=BCP^ (hai góc tương ứng)

Hay DAC^=BCA^, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.