Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của ∆ABC.

b) Đúng. Tương tự, PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ // AC.

c) Sai. Tương tự, MQ là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra MQ // BD.

Lại có AC ⊥ BD nên MQ ⊥ AC.

Mà MN // AC (vì MN là đường trung bình của ∆ABC) nên MN ⊥ MQ suy ra \(\widehat {NMQ} = 90^\circ .\)

d) Sai. Ta có MN // AC và PQ // AC nên MN // PQ.

Lại có \[MN = \frac{1}{2}AC,\,\,PQ = \frac{1}{2}AC\] (tính chất đường trung bình) nên MN = PQ.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ và MN = PQ nên MNPQ là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \) nên MNPQ là hình chữ nhật.

Để MNPQ là hình vuông cần thêm điều kiện MN = MQ, mà \[MN = \frac{1}{2}AC,\,\,MQ = \frac{1}{2}BD\] nên ta cần AC = BD (điều này giả thiết đề bài không đưa ra).

Vậy chưa đủ cơ sở để khẳng định MNPQ là hình vuông.