Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có MN, NP, PQ, QM lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC, BCD, ACD, ABD.

Suy ra MN // AC; NP // BD; PQ // AC; QM // BD.

Mà AC ⊥ BD (giả thiết).

Do đó MN ⊥ NP và PQ ⊥ QM.

Vì vậy MNP^+PQM^=90°+90°=180°.

Suy ra tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MP.

Vậy M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.