Cho tứ giác ABCD có góc ADC + góc BCD = 90 độ và AD = BC . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Giải thích
Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên MN=12BC
Lập luận tương tự, ta có PQ=12BC,MQ=12AD,NP=12AD
Theo giả thiết, AD = BC suy ra MN=QP=MQ=NP . Vậy MNPQ là hình thoi (1).
Mặt khác ta có:
DPQ^=DCB^,NPC^=ADC^ (góc đồng vị). theo giả thiết DCB^+ADC^=90° , suy ra DPQ^+NPC^=90° . Do vậy ta được góc QPN^=90° (2).
Từ (1) và (2) cho ta MNPQ là hình vuông.