Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng S = a + b + c + d chia hết cho

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không có hai cạnh nào của tứ giác bằng nhau.

Ta có thể giả sử a<b<c<d .

Ta có: a+b+c>BD+c>d

Do đó a + b + c + d > 2d . Ta đặt a + b + c + d = S  thì S > 2d. (*)

Ta có:

S⋮a⇒S=ma  m∈N (1)

S⋮b⇒S=nb  n∈N (2)

S⋮c⇒S=pc  p∈N (3)

S⋮d⇒S=qd  q∈N (4)

Từ (4) và (*) => qd > 2d do đó q > 2

Vì a < b < c < d nên từ (1), (2), (3), (4) suy ra m>n>p>q>2

Do đó q≥3;  p≥4;  n≥5;  m≥6

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 1m=aS;  1n=bS;  1p=cS;  1q=dS

Ta có: 16+15+14+13≥1m+1n+1p+1q=a+b+c+dS=1

Từ đó: 1920≥1; vô lí.

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.