Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn ( I ) và ( K ) sao cho hai đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC .

3/5

Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn \(({\rm{I}})\) và \(({\rm{K}})\) sao cho hai đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC . Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M , đường tròn \(({\rm{K}})\) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình vẽ). Chứng minh:

a) Ba điểm \({\rm{I}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) thẳng hàng;

b) \({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\);

c) \(\widehat {{\rm{IAK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tứ giác ABCD có (ảnh 1)

a) Đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AC tại điểm H (gt) \( \Rightarrow {\rm{IH}} \bot {\rm{AC}}\).

Tương tự đường tròn \(({\rm{K}})\) tiếp xúc với cạnh AC tại điểm \({\rm{H}} \Rightarrow {\rm{KH}} \bot {\rm{AC}}\).

\( \Rightarrow {\rm{Ba}}\) điểm \({\rm{I}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) thẳng hàng.

b) Ta có đường tròn \(({\rm{I}})\) tiếp xúc với cạnh AB tại M hay AM là tiếp tuyến của đường tròn (I).

lại có AH là tiếp tuyến của đường tròn (I) (cmt)\( \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AH}}\) (*)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh tương tự, ta có \({\rm{AH}} = {\rm{AN}}\)(**)

Từ (*) và (**)\( \Rightarrow {\rm{AM}} = {\rm{AN}}\).

c) Ta có: \(\widehat {{\rm{IAK}}} = \widehat {{\rm{IAH}}} + \widehat {{\rm{HAK}}}\) mà \(\widehat {{\rm{IAH}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MAH}}}\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\widehat {{\rm{HAK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{HAN}}} \Rightarrow \widehat {{\rm{IAK}}}\)\( = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{HAN}}} = \frac{1}{2}(\widehat {{\rm{MAH}}} + \widehat {{\rm{HAN}}})\)\( = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MAN}}}\)hay \( = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\)( đpcm)