Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với \BC = 4a, SA = a căn 3, SA vuông góc (ABC)

42/50

Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $\;BC = 4a,\,SA = a\sqrt 3 $ , $SA \bot (ABC)$ và cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc ${30^0}.$ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp $SABC$.

\[V = \frac{{28\sqrt 7 \pi {a^3}}}{3}\].

\[V = 28\sqrt 7 \pi {a^3}\].

\[V = 28\pi {a^3}\].

\[V = \frac{{20\sqrt 5 \pi {a^3}}}{6}\].

Giải thích

$Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $\;BC = 4a,\,SA = a\sqrt 3 $ , $SA \bot (ABC)$ và cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc ${30^0}.$ Tính thể tích khối cầu ng (ảnh 1)$

Do tam giác $ABC$ vuông tại $B,AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ trên $\left( {ABC} \right)$ nên suy ra tam giác $SBC$ vuông tại $B;SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SAC$ là tam giác vuông tại $A.$

Suy ra $A,B$ nằm trên mặt cầu đường kính $SC.$

Gọi $I$ là trung điểm của $SC$ thì $I$ là tâm mặt cầu.

Ta có $\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} = {30^0}.$

Đáp án A