Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Gọi alpha là góc phẳng nhị diện [S,BC,A]. Tính cos alpha

Hướng dẫn giải

Gọi  là trung điểm cạnh \(BC\).

Suy ra \(SD \bot BC\)( vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\)).

\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BC\).

Và \(SD \bot BC\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD\).

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SD \bot BC\\AD \bot BC\end{array} \right.\]\( \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SDA} = \alpha \).

Vì \(\Delta SBC\) vuông cân tại \(S\)nên có \(BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2}}  = \sqrt 2 \) và \(SD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(S\), ta có \(AD = \sqrt {S{A^2} + S{D^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Xét \[\Delta SAD\] vuông tại \[S\], ta có: \(\cos \alpha  = \cos \widehat {SDA} = \frac{{SD}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).