Cho tứ diện S . ABC có cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1 . Gọi φ là góc phẳng nhị diện [ S , BC , A ] . Tính tan φ .

16/55

Cho tứ diện $S.ABC$ có cạnh $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc và $SA = SB = SC = 1$. Gọi $\varphi $ là góc phẳng nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$. Tính $\tan \varphi $.

$\frac{2}{{\sqrt 3 }}$.

$\sqrt 2 $.

$\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

$\frac{1}{{2\sqrt 3 }}$.

Giải thích

$Có $CC' \bot C'O'$ và $C'O' \bot B'D'$ nên $d\left( {CC',B'D'} \right) = C'O'$. Chọn C. (ảnh 1)$

Có $SA \bot SB,SA \bot SC$ nên $SA \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (1).

Gọi $M$là trung điểm của $BC$.

Vì $\Delta SBC$ cân tại $S$ nên $SM \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AM$.

Suy ra $\widehat {SMA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện$\left[ {S,BC,A} \right]$.

Xét $\Delta SBC$, có $SM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + S{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Xét $\Delta SAM$ vuông tại $S$, có $\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 $. Chọn B.