Cho tứ diện \({\rm{ABCD}}\) có thể tích \({\rm{V}}\), gọi \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{P}},\,\,{\rm{Q}}\) lần lượt là trọng tâm tam giác

Gọi \[E\,,\,\,F\,,\,\,I\] lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \[BC,\,\,CD,\,\,BD.\]

Ta có \(\frac{{{{\rm{V}}_{{\rm{AMNP }}}}}}{{{{\rm{V}}_{{\rm{AEFI }}}}}} = \frac{8}{9} \Rightarrow {{\rm{V}}_{{\rm{AMNP}}}} = \frac{8}{9}\;{{\rm{V}}_{{\rm{AEFI}}}} = \frac{2}{9}\;{\rm{V}}\).

\({{\rm{V}}_{{\rm{MNPQ}}}} = \frac{1}{3}\;{\rm{d}}\left( {{\rm{Q}},\,\,\left( {{\rm{MNP}}} \right)} \right) \cdot {{\rm{S}}_{{\rm{MNP}}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{2}\;{\rm{d}}\left( {{\rm{A}},\,\,\left( {{\rm{MNP}}} \right)} \right) \cdot {{\rm{S}}_{{\rm{MNP}}}}\)

\( = \frac{1}{6}\;{\rm{d}}\left( {{\rm{Q}},\,\,\left( {{\rm{MNP}}} \right)} \right) \cdot {{\rm{S}}_{{\rm{MNP}}}} = \frac{1}{2}\;{{\rm{V}}_{{\rm{AMNP}}}} = \frac{{\rm{V}}}{9} \cdot \) Chọn C.