Cho tứ diện OABC với OBC là tam giác vuông tại O

17/22

Cho tứ diện \(OABC\) với \(OBC\) là tam giác vuông tại \(O\), trong đó \(OB = 1\) và \(OC = \sqrt 3 \). Biết rằng \(OA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) và \(OA = \sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(OM\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải thích

Đáp số: 0,77.

Cho tứ diện OABC với OBC là tam giác vuông tại O (ảnh 1)

Qua điểm \(B\) kẻ đường thẳng \(d\parallel \,OM\), qua điểm \(O\) kẻ \(\Delta \parallel BC\). \(d \cap \Delta = \left\{ D \right\}\).

Khi đó \(OM\parallel DB\) hay \(OM\parallel \left( {ADB} \right)\).

Ta có \(d\left( {OM,AB} \right) = d\left( {OM,\left( {DAB} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {DAB} \right)} \right)\).

Kẻ \(ON \bot DB\), \(OH \bot AN\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DB \bot ON\\DB \bot OA\\OA,\,\,ON \subset \left( {AON} \right)\,\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AON} \right) \Rightarrow BD \bot OH\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AN\\OH \bot BD\\AN,\,\,BD \subset \left( {DAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {DAB} \right)\) hay \(d\left( {O,\left( {DAB} \right)} \right) = OH\).

Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\) nên \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = 2\).

Mặt khác, tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\) có \(OM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(OM = \frac{1}{2}BC = 1\).

Tứ giác \(ODBM\) là hình bình hành nên \(\left\{ \begin{array}{l}OD = BM = \frac{1}{2}BC = 1\\OM = DB = 1\end{array} \right.\).

Ta có tam giác \(ODB\) có \(OD = OB = DB = 1\) nên tam giác \(ODB\) đều

Khi đó \[ON = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Xét tam giác \(AON\) vuông tại \(O\) có \(OH\) là đường cao:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {OM,AB} \right) = d\left( {O,\left( {DAB} \right)} \right) = OH = \frac{{\sqrt {15} }}{5} \approx 0,77\).