Đền Kukulcan (Hình 101) là một kim tự tháp Trung Mỹ nằm ở khu di tích Chichen Itza (ảnh 2)

Mô tả phần thân của đền Kukulcan trong bài toán bằng khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, với O và O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’.

Như vậy ta có:

⦁ ABCD là hình vuông cạnh 55,3 có diện tích S_ABCD = 55,3² = 3 058,09 (m²);

⦁ A’B’C’D’ là hình vuông;

⦁ Các cạnh bên A’A, B’B, C’C, D’D tạo với mặt đáy bằng 47°;

⦁ OO’ vuông góc với (ABCD) và (A’B’C’D’) và OO’ = 24 (m).

Do ABCD là hình vuông nên ABC^=90°, do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = 55,3² + 55,3² = 2 . 55,3².

Suy ra AC=2.55,3 (m).

Do đó CO=AC2=2.55,32≈39,1 (m) (do O là tâm hình vuông ABCD).

Dễ thấy: (ABCD) ∩ (A’C’CA) = AC;

(A’B’C’D’) ∩ (A’C’CA) = A’C’.

Mà (ABCD) // (A’B’C’D’).

Suy ra AC // A’C’ hay A’C’CA là hình thang.

Xét hình thang A’C’CA, kẻ C’H ⊥ AC (H ∈ AC).

Vì OO’ ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên OO’ ⊥ AC.

Do đó C’H // OO’ (cùng vuông góc với AC).

Mà O’C’ // OH (do A’C’ // AC)

Suy ra O’C’HO là hình bình hành.

Do đó: C’H = OO’ = 24 (m) và OH = O’C’.

Vì OO’ ⊥ (ABCD) và OO’ // C’H nên C’H ⊥ (ABCD).

Suy ra CH là hình chiếu của CC’ trên (ABCD).

Khi đó, góc giữa cạnh bên CC’ và mặt phẳng đáy bằng C'CH^=47°.

Xét tam giác C’HC vuông tại H (do C’H ⊥ AC) có

tanC'CH^=C'HCH

Suy ra CH=C'HtanC'CH^=24tan47°≈22,38.

Suy ra O’C’ = OH = OC – HC ≈ 39,1 – 22,38 = 16,72.

Ta có A’C’ = 2O’C ≈ 2.16,72 = 33,44 (do O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’).

Vì A’B’C’D’ là hình vuông nên A'B'C'^=90° và A’B’ = B’C’.

Suy ra tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ có:

A’B’² + B’C’² = A’C’² hay 2A’B’² = A’C’²

Suy ra A'B'=A'C'2≈33,442≈23,65.

Diện tích hình vuông A’B’C’D’ cạnh 23,65 là: S_{A’B’C’D’} ≈ 23,65² = 559,3225 (m²).

Như vậy, thể tích khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ với chiều cao OO’ = 24 và diện tích hai đáy S_ABCD = 3 058,09; S_{A’B’C’D’} = 559,3225 là

VABCD.A'B'C'D'≈13.24.3 058,09+3 058,09 . 559,3225+559,3225=39 402,06 m3.

Vậy thể tích phần thân ngôi đền đã cho gần bằng 39 402,06 m³.

Cho tứ diện OABC thỏa mãn OA = a, OB = b, OC = c, góc AOB = góc BOC = góc COA = 90 độ