Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = a, OB = 2a, và

37/50

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết \(OA = a,\,\,OB = 2a\) , và đường thẳng AC tạo với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích khối tứ diện OABC bằng

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

\(3{a^3}\)

\({a^3}\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Giải thích

Đáp án A

Phương pháp:

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = a, OB = 2a, và (ảnh 1)

Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc \( \Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC\)

Cách giải: Theo giả thiết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên \(OA \bot \left( {OBC} \right)\), OC là hình chiếu của AC lên mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\). Do đó \(ACO = {60^0}\), OA là chiều cao của tứ diện OABC. Xét tam giác vuông AOC có \(\tan {60^0} = \frac{{OA}}{{OC}}\) với \(OA = a\)

\( \Rightarrow OC = \frac{{OA}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};\,\,\,OB = 2a\)

Ta có: \({S_{OBC}} = \frac{1}{2}OB.OC = \frac{1}{2}.2a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3};\,\,\,{V_{OABC}} = \frac{1}{3}OA.{S_{OBC}} = \frac{1}{3}a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)