Cho tứ diện đều S . A B C . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của A B và S C .

6/22

Cho tứ diện đều\[S.ABC\]. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$. Xét \[M\] là một điểm di động trên đoạn thẳng \[AI\]. Qua \[M\] kẻ mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( {CIJ} \right)\]. Khi đó, thiết diện của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và tứ diện \[S.ABC\] là hình gì?

Hình bình hành.

Tam giác đều.

Tam giác cân tại \[M\].

Hình thang cân.

Giải thích

Chọn C

$Vậy tam giác \[\Delta MNP\] cân tại \[M\]. (ảnh 1)$

Vì \[\left( \alpha \right)//\left( {C{\rm{IJ}}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)//CI\\\left( \alpha \right)//SC\end{array} \right.\]

\[\left( \alpha \right)//CI\]và \[CI \subset (ABC)\]\[ \Rightarrow \]\[(ABC) \cap \left( \alpha \right) = MN//CI\left( {N \in AC} \right)\]

\[\left( \alpha \right)//SC\] và \[SC \subset (SAC)\] \[ \Rightarrow (SAC) \cap \left( \alpha \right) = NP//SC\left( {P \in SA} \right)\]

\[ \Rightarrow \]\[\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNP} \right)\]

Vậy thiết diện của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và tứ diện là tam giác \[\Delta MNP\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MN//IC\\PN//SC\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{MN}}{{IC}} = \frac{{AM}}{{IC}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{SC}} = \frac{{AP}}{{SA}} = k\]

\[ \Rightarrow \]\[MP//SI\]\[ \Rightarrow \]\[\frac{{MP}}{{SI}} = k\]

Do tứ diện đều nên \[\Delta SAB = \Delta ABC \Rightarrow SI = IC\]\[ \Leftrightarrow MP = MN\]

Vậy tam giác \[\Delta MNP\] cân tại \[M\].