Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó côsin góc giữa hai đường thẳng AB và DM bằng

8/48

Cho tứ diện đều \(ABCD\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó côsin góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(DM\) bằng

\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\frac{1}{2}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó côsin góc giữa hai đường thẳng AB và DM bằng (ảnh 1)

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\).

Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm \(AC\) \( \Rightarrow ME{\rm{ // }}AB \Rightarrow \left( {AB,DM} \right) = \left( {ME,MD} \right)\)

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều nên \(ME = \frac{a}{2}\), \(ED = MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta MED\), ta có: \(\cos \widehat {EMD} = \frac{{M{E^2} + M{D^2} - E{D^2}}}{{2ME.MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).