Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB, DM) bằng:

Đáp án đúng là: A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên AH vuông góc với (BCD).

Gọi E là trung điểm AC, ta có:

ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD) 

Ta có: cos(AB, DM) = cos(ME, MD) $=\left|\cos \left(\overrightarrow{ME},\overrightarrow{MD}\right)\right|=\left|\mathrm{co}\widehat{sEMD}\right|$

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED: ME = $\frac{a}{2}$; ED = MD =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác MED, ta có:

$\cos \widehat{EMD}=\frac{M{E}^2+M{D}^2-E{D}^2}{2ME.MD}=\frac{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{2.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Từ đó $\cos \left(AB,DM\right)=\left|\frac{\sqrt{3}}{6}\right|=\frac{\sqrt{3}}{6}$ .