Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB, DM) bằng:

Đáp án đúng là: A

 

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên AH vuông góc với (BCD).

Gọi E là trung điểm AC, ta có:

ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD) 

Ta có: cos(AB, DM) = cos(ME, MD) =cosME→,MD→=cosEMD^

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED: ME = a2; ED = MD =a32 .

Xét tam giác MED, ta có:

cosEMD^=ME2+MD2−ED22ME.MD=a22+a322−a3222.a2.a32=36.

Từ đó cosAB,DM=36=36 .