Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng

23/50

Cho tứ diện đều \[ABCD\] có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] bằng

\[\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\].

\[\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\].

\[\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\].

\[\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\].

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng (ảnh 1)

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BM\).

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow CD \bot AH\left( 1 \right).\]

Tương tự, ta chứng minh được \[BC \bot AH\left( 2 \right).\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[AH \bot \left( {BCD} \right).\]

Suy ra \[d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = AH\] và \(H\) là trọng tâm \[\Delta BCD.\]

Mà \(\Delta BCD\) đều cạnh a nên \(BH = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \(H\) có \[AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\]