Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M,N\ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD,ABC và E là điểm đối xứng

34/50

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABD,ABC$ và $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $D.$ Mặt phẳng $MNE$ chia khối tứ diện $ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích $V.$ Tính $V.$

$V = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{320}}.$

$V = \frac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{320}}.$

$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}.$

$V = \frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{80}}.$

Giải thích

Đáp án A.

$Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M,N\ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD,ABC và E là điểm đối xứng (ảnh 1)$ $Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M,N\ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD,ABC và E là điểm đối xứng (ảnh 2)$

Xét mặt phẳng chứa tam giác $ABD$. Gọi $D'$ trên $IE$ sao cho \[DD'//AQ\] ta có: $\frac{{DD'}}{{MQ}} = \frac{{ED}}{{EQ}} = \frac{2}{3}$

Mà $\Delta KDD' \sim \Delta KAM \Rightarrow \frac{{KD}}{{KA}} = \frac{{DD'}}{{AM}} = \frac{{DD'}}{{2MQ}} = \frac{1}{3}$

Gọi $M'$ trên $BD$ sao cho $MM'//AB.$ Ta có:

$M'Q = \frac{1}{3}BQ = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}BE = \frac{1}{{12}}BE \Rightarrow EM' = 3EQ + QM' = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{{12}}} \right)BE = \frac{5}{6}BE$

$ \Rightarrow \frac{{MM'}}{{IB}} = \frac{{EM'}}{{EB}} = \frac{5}{6} \Rightarrow MM' = \frac{5}{6}IB$

Xét mặt tam giác $ABQ$. Ta có $\frac{{MM'}}{{AB}} = \frac{{QM}}{{QA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{5}{6}\frac{{IB}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{IB}}{{AB}} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{{AI}}{{AB}} = \frac{3}{5}$

Vì $MN//PQ//CD \Rightarrow MN//\left( {ACD} \right) \Rightarrow MN//JK//CD \Rightarrow \frac{{AJ}}{{AC}} = \frac{{AK}}{{AD}} = \frac{3}{4}$

Vì $ABCD$ là tứ diện đều có cạnh bằng $a \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Ta lại có: $\frac{{{V_{AIJK}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AI}}{{AB}}.\frac{{AJ}}{{AC}}.\frac{{AK}}{{AD}} = \frac{3}{5}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{27}}{{80}} \Rightarrow {V_{AIJK}} = \frac{{27}}{{80}}{V_{ABCD}} = \frac{{27}}{{80}}\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{320}}$